Teorija

Podsjetnik za 1. Kol

1. Tjedan: Relacije, Funkcije, Skupovi Brojeva i Kompleksni Brojevi

1. Relacije

Definicija

• Relacija: Povezanost između elemenata dva skupa; podskup kartičkog produkta dva skupa.

Svojstva

1. Refleksivnost: $(a, a) \in R, \forall a \in A$
2. Simetričnost: $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$
3. Antisimetričnost: $(a, b) \in R \land (b, a) \in R \implies a = b$
4. Tranzitivnost: $(a, b) \in R \land (b, c) \in R \implies (a, c) \in R$

Posebne vrste relacija

• Relacija ekvivalencije: Refleksivna, simetrična, tranzitivna. (npr. "biti u istoj klasi")
• Relacija parcijalnog poretka: Refleksivna, antisimetrična, tranzitivna. (npr. "biti podskup")
• Relacija potpunog poretka: Svaka dva elementa su usporediva. (npr. $\leq$ na realnim brojevima)

2. Funkcije

Definicija

• Funkcija: Pravilo koje svakom elementu skupa $A$ pridružuje točno jedan element iz skupa $B$.

Vrste funkcija

1. Injektivne: $f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2$
2. Surjektivne: Slika funkcije jednaka kodomeni.
3. Bijektivne: Injektivne i surjektivne.

Posebne funkcije

• Polinomske: $f(x) = a_n x^n + \dots + a_0$
• Eksponencijalne: $f(x) = a^x$
• Logaritamske: $f(x) = \log_a(x)$
• Trigonometrijske: $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$

3. Skupovi Brojeva

• Prirodni brojevi: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$
• Cijeli brojevi: $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
• Racionalni brojevi: $\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} \;| \;p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$
• Iracionalni brojevi: npr. $\sqrt{2}$
• Realni brojevi: $\mathbb{R}$
• Kompleksni brojevi: $\mathbb{C} = a + bi, \; (i^2 = -1)$

4. Kompleksni Brojevi

• Modul: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Konjugirani: $\overline{z} = a - bi$
• Algebarski oblik: $z = a + bi$
• Trigonometrijski oblik: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$

5. Trigonometrijski oblik

• Množenje: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$
• Dijeljenje: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

6. Moivreove Formule

• $z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$

---

2. Tjedan: Matrice i linearni sustavi

1. Definicija matrice

• Matrica: Pravokutna tablica brojeva (elemenata) raspoređenih u $m$ redaka i $n$ stupaca. Označava se kao $A = [a_{ij}]$, gdje je $a_{ij}$ element u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu. Dimenzija matrice je $m \times n$.

Osnovne operacije

• Zbrajanje matrica: Moguće je samo za matrice istih dimenzija. Rezultat je matrica $C = A + B$, gdje je $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• Množenje matrice skalarom: Matrica $A$ pomnožena skalarom $c$ daje matricu $B = cA$, gdje je $b_{ij} = c \cdot a_{ij}$.
• Množenje matrica: Moguće je samo ako broj stupaca prve matrice odgovara broju redaka druge matrice. Rezultat je matrica $C = AB$, gdje je $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$.

Gaussova eliminacija

• Gaussova eliminacija: Postupak za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Koristi se za svođenje proširene matrice sustava na stupnjeviti oblik (ešalonski oblik) kako bi se lakše pronašlo rješenje.
• Elementarne transformacije: Zamjena redaka, množenje retka skalarom različitim od nule, dodavanje jednog retka drugom.

Kronecker-Capellijev teorem

• Kronecker-Capellijev teorem: Sustav linearnih jednadžbi ima rješenje ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava. Rang matrice je maksimalni broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca matrice.

Dodatni pojmovi

• Rang matrice: Maksimalni broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca matrice.
• Determinanta: Skalarna vrijednost koja se može izračunati samo za kvadratne matrice. Koristi se za određivanje invertibilnosti matrice i rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
• Inverzna matrica: Za kvadratnu matricu $A$, inverzna matrica $A^{-1}$ je takva da vrijedi $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, gdje je $I$ jedinična matrica.

---

3. Tjedan: Inverzna matrica, determinante i Cramerovo pravilo

Inverzna matrica

• Inverzna matrica: Za kvadratnu matricu $A$, inverzna matrica $A^{-1}$ je matrica za koju vrijedi $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, gdje je $I$ jedinična matrica.
• Postojanje: Inverzna matrica $A^{-1}$ postoji ako i samo ako je determinanta matrice $A$ različita od nule, tj. $\det(A) \neq 0$. Takve matrice nazivamo regularnim ili invertibilnim matricama.

Determinante

• Determinanta: Skalarna vrijednost pridružena kvadratnoj matrici. Koristi se za određivanje invertibilnosti matrice, rješavanje sustava linearnih jednadžbi i izračunavanje površina ili volumena.
• Izračunavanje:
  • Za matricu $2 \times 2$:
    $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
  • Za matricu $3 \times 3$ (Sarrusovo pravilo):
    $\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Cramerovo pravilo

• Cramerovo pravilo: Metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s $n$ jednadžbi i $n$ nepoznanica, gdje je matrica sustava $A$ regularna.
• Rješenje: Ako je $\det(A) \neq 0$, tada je rješenje sustava dano s:
  $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
  gdje je $A_i$ matrica dobivena zamjenom $i$-tog stupca matrice $A$ stupcem slobodnih članova.

---

4. Tjedan: Vektori i analitička geometrija

Osnovne operacije s vektorima

• Vektor: Usmjerena dužina s veličinom (intenzitetom) i smjerom. Može se prikazati uređenom $n$-torkom brojeva.
• Zbrajanje vektora:
  $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)$
• Množenje vektora skalarom:
  $c \cdot \vec{a} = (c \cdot a_1, c \cdot a_2, \dots, c \cdot a_n)$
• Skalarni produkt:
  $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \phi$
  gdje je $\phi$ kut između vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$.
• Vektorski produkt (samo u $\mathbb{R}^3$):
  $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

Jednadžbe pravca i ravnine

• Pravac u ravnini: Opća jednadžba pravca:
  $ax + by + c = 0$
  Parametarska jednadžba pravca:
  $\vec{r} = \vec{r}_0 + t \cdot \vec{d}$
  gdje je $\vec{r}_0$ točka na pravcu, $\vec{d}$ vektor smjera, a $t$ parametar.
• Ravnina u prostoru: Opća jednadžba ravnine:
  $ax + by + cz + d = 0$
  Parametarska jednadžba ravnine:
  $\vec{r} = \vec{r}_0 + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$
  gdje je $\vec{r}_0$ točka u ravnini, $\vec{u}$ i $\vec{v}$ vektori smjera, a $s$ i $t$ parametri.

Dodatni pojmovi

• Norma vektora: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$
• Kut između vektora: $\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

---

5. Tjedan: Funkcije realne varijable

Klasifikacija funkcija

• Funkcija: Pravilo koje svakom elementu iz skupa $X$ pridružuje točno jedan element iz skupa $Y$. Označava se kao $f: X \to Y$.
• Polinomske funkcije: Funkcije oblika $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$, gdje su $a_i$ realni brojevi.
• Racionalne funkcije: Kvocijent dviju polinomskih funkcija, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, gdje su $P(x)$ i $Q(x)$ polinomi.
• Eksponencijalne funkcije: Funkcije oblika $f(x) = a^x$, gdje je $a > 0$ i $a \neq 1$.
• Logaritamske funkcije: Inverzne funkcije eksponencijalnih funkcija, $f(x) = \log_a(x)$, gdje je $a > 0$ i $a \neq 1$.
• Trigonometrijske funkcije: Funkcije kao što su sinus, kosinus, tangens itd., definirane pomoću jedinične kružnice.

Limes funkcije

• Limes funkcije: Vrijednost koju funkcija $f(x)$ približava kada $x$ teži nekoj točki $a$. Označava se kao $\lim_{x \to a} f(x) = L$.
• Jednostrani limesi:
  • Desni limes: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ – vrijednost koju funkcija približava kada $x$ prilazi $a$ s desne strane.
  • Lijevi limes: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ – vrijednost koju funkcija približava kada $x$ prilazi $a$ s lijeve strane.
• Postojanje limesa: Limes $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji ako i samo ako su desni i lijevi limesi jednaki.

---

6. Tjedan: Neprekidnost funkcije i asimptote

Definicija neprekidnosti

• Neprekidnost funkcije: Funkcija $f(x)$ je neprekidna u točki $a$ ako su zadovoljena sljedeća tri uvjeta:
  1. $f(a)$ postoji (funkcija je definirana u $a$),
  2. $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji,
  3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• Neprekidnost na intervalu: Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakoj točki tog intervala.

Asimptote

• Asimptota: Pravac kojemu se graf funkcije približava kada $x$ ili $y$ teži u beskonačnost.
• Horizontalne asimptote: Pravac $y = L$ je horizontalna asimptota ako vrijedi:
  $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ ili $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.
• Vertikalne asimptote: Pravac $x = a$ je vertikalna asimptota ako funkcija teži $\pm \infty$ kada $x$ prilazi $a$, tj.:
  $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ili $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$.
• Kose asimptote: Pravac $y = kx + l$ je kosa asimptota ako vrijedi:
  $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$ i $\lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = l$ (ili za $x \to -\infty$).

Dodatni pojmovi

• Prekidi funkcije: Točke u kojima funkcija nije neprekidna. Mogu biti:
  • Uklonjivi prekid: Limes postoji, ali nije jednak $f(a)$.
  • Prekid prve vrste: Lijevi i desni limesi postoje, ali nisu jednaki.
  • Prekid druge vrste: Barem jedan od jednostranih limesa ne postoji ili je beskonačan.

Zadaci

1. Kolokvij ponavljanje

• Zadaci za ponavljanje gradiva (nije iz ispita)
• Relacije, Funkcije, Skupovi Brojeva i Kompleksni Brojevi

Zadatak 1: Relacije

Neka je na skupu $A = \{1, 2, 3, 4\}$ definirana relacija $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1), (3,4), (4,3)\}$. Ispitajte je li relacija $R$ refleksivna, simetrična, antisimetrična i tranzitivna.

Rješenje:

1. Refleksivnost: Relacija je refleksivna jer za svaki $a \in A$ vrijedi $(a, a) \in R$.
2. Simetričnost: Relacija je simetrična jer za svaki $(a, b) \in R$ vrijedi i $(b, a) \in R$.
3. Antisimetričnost: Relacija nije antisimetrična jer postoje parovi $(1,2)$ i $(2,1)$, ali $1 \neq 2$.
4. Tranzitivnost: Relacija je tranzitivna jer za sve parove $(a, b) \in R$ i $(b, c) \in R$ vrijedi $(a, c) \in R$.

---

Zadatak 2: Funkcije

Neka je funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definirana s $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. Ispitajte je li funkcija injektivna, surjektivna i bijektivna.

Rješenje:

1. Injektivnost: Provjerimo je li $f(a) = f(b) \implies a = b$.
   $f(a) = f(b) \implies a^3 - 3a^2 + 2a = b^3 - 3b^2 + 2b$.
   Ova jednadžba nije uvijek istinita, npr. za $a = 0$ i $b = 1$ vrijedi $f(0) = f(1) = 0$, ali $0 \neq 1$. Dakle, funkcija nije injektivna.
2. Surjektivnost: Funkcija je polinom trećeg stupnja, a polinomi neparnog stupnja su surjektivni na $\mathbb{R}$. Dakle, funkcija je surjektivna.
3. Bijektivnost: Funkcija nije bijektivna jer nije injektivna.

---

Zadatak 3: Kompleksni Brojevi

Neka su zadani kompleksni brojevi $z_1 = 1 + i$ i $z_2 = 2 - 3i$. Izračunajte $z_1 \cdot z_2$ i $\frac{z_1}{z_2}$.

Rješenje:

1. Množenje:
   $z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(2 - 3i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i$.
2. Dijeljenje:
   $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{2 - 3i} \cdot \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{(1 + i)(2 + 3i)}{4 + 9} = \frac{2 + 3i + 2i + 3i^2}{13} = \frac{2 + 5i - 3}{13} = \frac{-1 + 5i}{13} = -\frac{1}{13} + \frac{5}{13}i$.

---

2. Tjedan: Matrice i linearni sustavi

Zadatak 1: Množenje matrica

Neka su zadane matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Izračunajte $AB$ i $BA$.

Rješenje:

1. Množenje $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}.$$
2. Množenje $BA$: $$BA = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}.$$

---

Zadatak 2: Gaussova eliminacija

Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi Gaussovom eliminacijom:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 3x + 8y + 7z = 20 \\ 2x + 7y + 9z = 23 \end{cases}$$

Rješenje:

1. Proširena matrica: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 3 & 8 & 7 & | & 20 \\ 2 & 7 & 9 & | & 23 \end{pmatrix}$$
2. Prvi korak: Oduzmemo prvi redak pomnožen s 3 od drugog retka i prvi redak pomnožen s 2 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 3 & 7 & | & 15 \end{pmatrix}$$
3. Drugi korak: Oduzmemo drugi redak pomnožen s 1.5 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$$
4. Supstitucija unatrag:
   • Iz trećeg retka: $z = 3$.
   • Iz drugog retka: $2y + 4 \cdot 3 = 8 \implies y = -2$.
   • Iz prvog retka: $x + 2 \cdot (-2) + 3 = 4 \implies x = 5$.
     Rješenje: $x = 5$, $y = -2$, $z = 3$.

---

Zadatak 3: Kronecker-Capellijev teorem

Provjerite ima li sljedeći sustav linearnih jednadžbi rješenje:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 4y + 6z = 20 \\ 3x + 6y + 9z = 30 \end{cases}$$

Rješenje:

1. Proširena matrica: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 4 & 6 & | & 20 \\ 3 & 6 & 9 & | & 30 \end{pmatrix}$$
2. Gaussova eliminacija:
   • Oduzmemo prvi redak pomnožen s 2 od drugog retka i prvi redak pomnožen s 3 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 3 & 6 & | & 12 \end{pmatrix}$$
   • Oduzmemo drugi redak pomnožen s 1.5 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$
3. Rangovi: Rang matrice sustava je 2, a rang proširene matrice je također 2. Prema Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav ima rješenje.

---

3. Tjedan: Inverzna matrica, determinante i Cramerovo pravilo

Zadatak 1: Inverzna matrica

Nađite inverznu matricu matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Rješenje:

1. Determinanta:
   $\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$.
2. Inverzna matrica: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

---

Zadatak 2: Cramerovo pravilo

Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi Cramerovim pravilom:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$$

Rješenje:

1. Matrica sustava: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 2 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = -7.$$
2. Matrica $A_x$: $$A_x = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}, \quad \det(A_x) = 5 \cdot (-3) - 1 \cdot (-1) = -15 + 1 = -14.$$
3. Matrica $A_y$: $$A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(A_y) = 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 1 = -2 - 5 = -7.$$
4. Rješenje:
   $x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-14}{-7} = 2$,
   $y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-7}{-7} = 1$.
   Rješenje: $x = 2$, $y = 1$.

---

Zadatak 3: Determinanta

Izračunajte determinantu matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$$

Rješenje:

1. Sarrusovo pravilo:
   $\det(A) = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot 9 - 1 \cdot 6 \cdot 8 = 45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 0$.
   Determinanta je $0$, što znači da matrica nije invertibilna.

---

4. Tjedan: Vektori i analitička geometrija

Zadatak 1: Skalarni produkt

Neka su zadani vektori $\vec{a} = (1, 2, 3)$ i $\vec{b} = (4, -1, 2)$. Izračunajte skalarni produkt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ i kut između vektora.

Rješenje:

1. Skalarni produkt:
   $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 4 - 2 + 6 = 8$.
2. Kut između vektora:
   Norme vektora su:
   $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$,
   $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$.
   Kut $\theta$ između vektora računamo kao:
   $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} \approx 0.467$.
   Stoga je $\theta \approx \cos^{-1}(0.467) \approx 62.1^\circ$.

---

Zadatak 2: Vektorski produkt

Neka su zadani vektori $\vec{a} = (1, 0, 2)$ i $\vec{b} = (3, 1, -1)$. Izračunajte vektorski produkt $\vec{a} \times \vec{b}$.

Rješenje:

1. Vektorski produkt: $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = \vec{i}(-2) - \vec{j}(-7) + \vec{k}(1) = (-2, 7, 1).$$

---

Zadatak 3: Jednadžba ravnine

Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama $A(1, 2, 3)$, $B(4, 5, 6)$ i $C(7, 8, 9)$.

Rješenje:

1. Vektori u ravnini:
   $\vec{AB} = B - A = (3, 3, 3)$,
   $\vec{AC} = C - A = (6, 6, 6)$.
2. Normala ravnine:
   $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 6 - 3 \cdot 6) - \vec{j}(3 \cdot 6 - 3 \cdot 6) + \vec{k}(3 \cdot 6 - 3 \cdot 6) = (0, 0, 0)$.
   Vektori $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ su kolinearni, pa točke leže na istom pravcu. Dakle, postoji beskonačno mnogo ravnina koje prolaze kroz te točke.

---

5. Tjedan: Funkcije realne varijable

Zadatak 1: Limes funkcije

Izračunajte limes funkcije $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ kada $x \to 2$.

Rješenje:

1. Rastav na faktore:
   $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ (za $x \neq 2$).
2. Limes:
   $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

---

Zadatak 2: Neprekidnost funkcije

Ispitajte je li funkcija $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{za } x \leq 1 \\ 2x & \text{za } x > 1 \end{cases}$ neprekidna u točki $x = 1$.

Rješenje:

1. Vrijednost funkcije u točki $x = 1$:
   $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
2. Lijevi limes:
   $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 2$.
3. Desni limes:
   $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2$.
4. Neprekidnost:
   Kako je $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$, funkcija je neprekidna u točki $x = 1$.

---

Zadatak 3: Asimptote

Odredite horizontalne i vertikalne asimptote funkcije $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 1}$.

Rješenje:

1. Horizontalne asimptote:
   $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 1} = 2$.
   Dakle, postoji horizontalna asimptota $y = 2$.
2. Vertikalne asimptote:
   Nazivnik je nula kada je $x^2 - 1 = 0 \implies x = 1$ ili $x = -1$.
   Provjerimo limese:
   $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$,
   $\lim_{x \to -1} f(x) = \infty$.
   Dakle, postoje vertikalne asimptote $x = 1$ i $x = -1$.

---

6. Tjedan: Neprekidnost funkcije i asimptote

Zadatak 1: Prekidi funkcije

Ispitajte prekide funkcije $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Rješenje:

1. Rastav na faktore:
   $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ (za $x \neq 1$).
2. Prekid u točki $x = 1$:
   Funkcija nije definirana u $x = 1$, ali postoji limes $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
   Dakle, prekid je uklonjiv.

---

Zadatak 2: Kose asimptote

Odredite kosu asimptotu funkcije $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}$.

Rješenje:

1. Rastav na faktore:
   $f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1$ (za $x \neq -1$).
2. Kosa asimptota:
   Kako je $f(x) = x + 1$ za $x \neq -1$, kosa asimptota je pravac $y = x + 1$.

---

Zadatak 3: Neprekidnost na intervalu

Ispitajte je li funkcija $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ neprekidna na intervalu $[2, \infty)$.

Rješenje:

1. Područje definicije:
   Funkcija je definirana za $x^2 - 4 \geq 0 \implies x \leq -2$ ili $x \geq 2$.
   Na intervalu $[2, \infty)$ funkcija je definirana.
2. Neprekidnost:
   Funkcija $\sqrt{x^2 - 4}$ je neprekidna na svom području definicije, pa je neprekidna i na intervalu $[2, \infty)$.

Ispiti

Riješenja